Programación Dinámica Determinística – Investigación de Operaciones

Anteriormente:

Programación Dinámica

Ya hemos revisado las bases de la programación dinámica, una técnica empleada dentro de la ingeniería industrial para la optimización de procesos. Ahora vamos revisar la programación dinámica determinística, que se centra en los problemas que el estado de la siguiente etapa está determinado por completo por el estado y la política de la etapa actual. La programación determinística se puede describir por el siguiente gráfica:

pd_13

Siendo esto el único factor diferencial, todo el proceso y características posteriores se cumplen, entonces veamos algunos ejemplos de su aplicación para entender  bien su entendimiento.

AGENCIA DE PUBLICIDAD

Una agencia de publicidad está llevando a cabo una campaña de publicidad de una semana para una tienda local. La agencia ha determinado que es posible que la campaña más efectiva pudiera incluir la colocación de anuncios en cuatro medios. Un periódico diario, un periódico dominical, radio y televisión. Se tiene disponible $ 8,000 para esta campaña y la agencia le gustaría distribuir esa cantidad en incrementos de $1,000 en todos los medios, de manera que se maximice el índice de exposición a la publicidad. Investigaciones llevadas a cabo por la agencia permiten obtener las siguientes estimaciones de la exposición por cada $1,000 de gasto en cada uno de los medios.

pd_14

Determine cuánto debe invertir la agencia en cada uno de los medios para maximizar la exposición de los anuncios.

Resolución

Vemos que no se menciona de forma explícita las etapas, para ello debemos de ponernos a meditar sobre la toma decisión que ha de ocurrir, podemos decir que si empezamos de arriba hacia abajo en la tabla que se ha presentado, podríamos decir que nuestro estado inicial es S1=$8000 y tomaremos una decisión X1 que sería el valor de la inversión en uno de los medios informativos tal que nos lleve al  siguiente estado (el siguiente medio informativo) y en el siguiente estado tendremos S2=8000-X1, y así sucesivamente S3=S2-X2 tal que al final quedemos con 0, observemos la situación determinística que dicta que el estado n+1 está determinado enteramente por el estado anterior y su contribución , ahora bien bajo esto podríamos decir que los medios informativos son las etapas, ya que en ellos se concentran las tomas de decisiones, podemos entonces realizar la siguiente tabla:

pd_15.png

Sí cada etapa es cada medio informativo, observemos lo que sucede en la etapa 1; en la etapa 1 podemos elegir, invertir 0 a 8, no sabemos cuánto pero sabemos que esas son los valores posibles:

pd_16

Si encontramos una razón a ello podemos decir, sea:

  • Sea n el número de estados que es 4.
  • Sn: La cantidad actual para invertir en la etapa n
  • xn: La cantidad actual que se invertirá en la etapa n tal que xn ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
  • Sn+1: La cantidad restante de inversión en la etapa n+1.
  • Csn,sn+1: la contribución inmediata de ir de n a n+1.

Entonces:

Sn+1=Sn-Xn

Con estos datos podemos buscar la relación recursiva; nuestro objetivo es obtener la maximización de exposición en los medios, entonces en cada etapa se ha evaluado y obtenido un gn+1(Sn+1), entonces podemos decir que la maximización de exposición (Gmax) es:

Gmax=C(Sn,Sn+1)+gn+1(Sn+1) equivalente a C(Sn,Sn+1)+gn+1(Sn-Xn)

Entonces en la etapa 1, sea S1=8, si invertimos los 8 el cual es nuestro X1  en la etapa 1 nos quedamos con 0 el cual es nuestro Sn+1.Y la contribución de invertir esos 8 en la etapa 1 es  C(Sn,Sn+1)=82, según dato en tabla.Esto ocurre de forma similar con los otros posibles estados. Bajo esa misma lógica creamos los demás estados y etapas.

pd_17.png

Obtenemos una red de la forma en que se muestra, expliquemos un poco que es lo que está sucediendo:

pd_18

En la primera etapa el esfuerzo de invertir 6 trae como resultado 80 y me quedo con 2 que es el estado inicial para la etapa 2, luego yo puedo decidir invertir esos 2 en la etapa 2 y me quedaría con 0, el resultado de invertir 2 en la segunda etapa es 55, o podría solo invertir 1 y el resultado de invertir 1 es 15 en la segunda etapa o no podría invertir nada, quedándome con 2 y el resultado de no invertir nada es 0, no puedo invertir 3 ya que no poseo dicha cantidad, siguiendo esa misma lógica es que se ha desplegado toda la red. En la última etapa sea lo que quede se va a distribuir, entonces el último estado será de valor 0, con todo esto descrito pasamos a las tablas:

Etapa 4 (Televisión):

pd_19

Etapa 3 (Radio):

pd_20

 

Etapa 2 (Periódico dominical:

pd_21

Etapa 1 (Periódico diario):

Aquí se observa lo sucedido con el nodo de 8 a 2, existe una inversión 6, invertir 6 en la etapa 1 trae una exposición de 80, dejando esos 2 para la siguiente etapa, es ahí donde revisamos cual es la forma más óptima de distribuir 2, que en la siguiente etapa es de 40

pd_22

Finalmente la mayor exposición es de 167 y se logra a través de la distribución de inversión de:

2->3->1->2 o 2->2->1->3

Aquí nos detenemos por el momento, esperando que les haya sido de su agrado.

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