Teoría de Colas – Colas Markovianas – de 1 solo canal

INTRODUCCIÓN

Todos alguna vez hemos hecho una cola, en un banco, supermercado, o un trámite donde muchas personas se congregan y existen definitivamente menos centros de atención que usuarios que desean realizar algún trámite. Las colas son un tópico de la investigación de operaciones que se aborda con la finalidad de optimizar el sistema, esto ocurre por lo siguiente pongámonos  en la situación que tenemos un banco en la cual tenemos un solo cajero en atención, estamos reduciendo costos pues al menos tenemos un cajero, pero no estamos pensando que podríamos perder clientes por los tiempos de espera prolongados, lo cual repercute en el rendimiento de las operaciones, ahora podemos ir al otro extremo en que colocamos muchos cajeros tal que cada cliente sea atendido inmediatamente por un cajero, esto ocasionaría un sobre costo aun cuando el cliente se sienta totalmente satisfecho, pero no resulta conveniente, es por ello que se busca la optimización en el equilibrio del sistema. Entonces tenemos un sistema de colas que puede ser de un solo canal (cajero) o multi-canal:

1canal
Un solo canal
multicanal
Multicanal

COMPONENTES

Tal como se puede observar en los gráficos, se pueden distinguir componentes que conforman el modelo de colas, estos son:

modelo

  • Fuente de Entrada:  Toma especial interés el tamaño de la población que puede requerir servicio en determinado momento, a esta población de clientes potenciales se le conoce como “población de entrada”, esta población puede ser de tamaño finito o infinito; sin embargo, y  por la facilidad de cálculo se suele tomar que es infinito, aun cuando se trate de un problema real que definitivamente tiene un tamaño finito se toma como supuesto que es infinito a menos que se establezca lo contrario. Así como el tamaño se debe de especificar  el patrón estadístico por el cual se generan los clientes, por lo general se asume que estos siguen una distribución de Poisson.
  • Cola: La cola es donde los clientes esperan antes de recibir servicio, se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir, estas también pueden ser finitas o infinitas, el supuesto de infinito se aplica como un estándar de la mayoría de modelos, incluso cuando en la realidad existe una cota superior.
  • Disciplina de la Cola:  Se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio, puede ser: “primero en entrar, primero en salir -(FIFO)“, “último en entrar, primero en salir-(LIFO)” , aleatoria o algún otro procedimiento.
  • Mecanismo de Servicio: Consiste  en uno o más estaciones de servicio denominados servidores, en un modelo de colas siempre se debe especificar el arreglo de las estaciones y el número de los servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación se llama tiempo de servicio.

NOTACIÓN  Y DISTRIBUCIÓN

En la notación se sigue la notación Kendall que se indica de la siguiente forma:

A/B/C

Donde:

  • A: Especifica el tipo de distribución en la llegada.
  • B: Especifica el proceso de servicio
  • C: Indica el número de servidores

Los códigos empleados son:

  • M: para Markoviano (las tasas de llegada siguen una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos de llegada (un banco, cola de supermercado, etc.).
  • D: para unos tiempos deterministas, es decir, los tiempos de llegada no son probabilísticos  y son a intervalos constantes (una planta con un proceso automatizado en línea).
  • G: para una distribución general de los tiempos de llegada, es decir permite cualquier distribución arbitraria.

TERMINOLOGÍA

Se tiende a una terminología aunque cada autor podría diferir en la definición de los términos o símbolos que hace uso:

  • Estado del sistema: número de clientes en el sistema.
  • Longitud de la cola: número de clientes que esperan servicio o estado del sistema menos número de clientes a quiénes se les da el servicio.
  • N(t): número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t≥0).
  • Pn(t): probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t dado el número en el tiempo 0.
  • s: número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.
  • λn: tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
  • μn: tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo).

MEDIDAS DE RENDIMIENTO

Centradas en el cliente:

  • Wq: tiempo promedio de espera, en la cual un cliente llega y es atendido.
  • W: tiempo promedio total del sistema, que incluye el tiempo promedio de espera y el tiempo promedio del servicio.

Cuantitativas sobre el número de clientes:

  • P0: probabilidad de que no haya clientes en el sistema, puede ser empleado cuando se requiera la probabilidad de que haya n elementos en el sistema.

Relacionadas al costo:

  • Costo promedio por unidad de tiempo de operación del sistema
  • Cantidad de estaciones de trabajo necesarias para obtener la mayor efectividad en términos de costos.

RELACIONES ENTRE MEDIDAS DE RENDIMIENTO

El tiempo promedio del sistema, es el tiempo de espera y el tiempo de servicio, sí  “μ” es la cantidad de clientes atendidos por unidad de tiempo, la inversa será el tiempo que demore en atender a un cliente en una unidad de tiempo, entonces:

Tiempo total de un cliente en el sistema:form1

Sea que el tiempo que pasa el cliente en el sistema es W, y λ  por definición es la cantidad de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo, entonces podemos decir que la cantidad de clientes en el sistema  en cualquier tiempo dado será:

L=W*λ

Podemos hacer una analogía, para determinar la cantidad de clientes esperando en cualquier tiempo dado de la siguiente forma:

Cantidad de clientes en cola: Lq=Wq

ANÁLISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS

Para determinar el costo total debemos de hallar el costo total del personal:

Costo total de personal=(Costoxhoraxservidor) * (Cantidad de personal)

El costo total de los clientes en espera:

Costo total por la espera=(Costoxhoraxcliente_en_cola) * (Cantidad de clientes en cola)

Tal que el costo total es:

Costo total=Costo_total_personal + Costo_total_por_la_espera

ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE COLAS DE TIPO (M/M/1)

Las fórmulas de rendimiento por lo general se han derivado a través del uso de las variables λ y μ tal que se llega a la expresión de la intensidad de tráfico o también denominado factor de uso (ρ)  que tiene la siguiente forma:

 Factor de uso: ρ=λ/μ

Si el factor de uso mientras más cerca a 1 significará que el sistema estará más cargado lo cual trae como resultados colas más largas y tiempos de espera más largos. Sí el factor de uso mide la intensidad de clientes en el sistema,  su complemento determina la probabilidad de que no exista clientes en el sistema:

Probabilidad de cero clientes en el sistema: P0=1-ρ

Esta probabilidad indica que un cliente que llega no tendrá que esperar a que se le proporcione servicio ya que la cola estará vacía.

Podemos de similar forma obtener la cantidad de clientes en espera o en la cola en función de ρ o de λ y μ.

Número de clientes en espera:col1

Este último resultado sirven de base para obtener el Wq y W acorde a las fórmulas planteadas líneas arriba.

Si deseamos determinar la probabilidad de que el sistema tenga exactamente “n” cantidad de clientes:

Cantidad n exacta de clientes en el sistema:col2

Esta última ecuación nos permite responder a las preguntas tales como: ¿Cuál es la probabilidad que no haya más de  n clientes en el sistema? , para ello debemos de tomar la suma desde 0 a n de las probabilidades:

col3

Y si en caso la pregunta fuera ¿Cuál es la probabilidad de encontrar hasta n clientes en el sistema?, se tomará el complemento, es decir:

1-Ptotal

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Ejercicio 1

Si la tasa de llegada a una estación de servicio es de 12 unidades por hora y el tiempo de atención por unidad es de 4 minutos siendo además que se pierde por unidad parada la cantidad de $80 por hora y que el costo por día del servicio es de $50, se pide:

  • La probabilidad de encontrar hasta 3 unidades en el sistema.
  • El costo total por día del sistema.
  • Determine si conviene contratar un ayudante por $20 diario si la tasa de atención mejora en 30%.

Resolución:

Tenemos que el tiempo de llegada es de λ: 12 unidades por hora, y la cantidad de unidades por unidad de tiempo es de  μ: 15 unidades por hora ya que cada unidad tarda 4 minutos en un servidor. Nos piden hallar la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades en el sistema, para ello usaremos  1-Ptotal,entonces hallamos el total desde i=0 hasta i=n=3 en:

col2

Tenemos que λ/μ=0.8, entonces en P0=(0.8)0(0.2)=0.2, P1=(0.8)1(0.2)=0.16, P2=(0.8)2(0.2)=0.128 y P3=(0.8)3(0.2)=0.1024; la suma total es 0.5904, entonces la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades es 1-0.5904=0.4096.

El costo total del sistema, tenemos como datos el costo del día del servicio que es de $50, tomaremos que el día está compuesto de  8 horas laborales, entonces debemos de hallar cuántos clientes se encuentran en cola cada hora; debemos de hallar la cantidad de elementos en cola, sabemos que Lq:

col1

tenemos que la cola cada hora está compuesta por 3.2 unidades, y el costo por unidad por hora es de $80, entonces el costo total de espera por hora es de $256 por hora, pero como son 8 horas laborales tenemos que el costo diario es de $2048, el costo del servicio es de $50 y la cantidad de servidores es de 1, finalmente el costo total será:

Costo total=$50+$2,048=$2098

Ahora debemos de evaluar que sucede si se incluye un ayudante que mejora la tasa de atención es un 30%, esto se traduce en 1.3μ, entonces el nuevo μ será de 19.5 unidades por hora con lo cual debemos de revisar el costo, para ello el nuevo Lq es 0.985 unidades en cola en cada hora, entonces el nuevo costo será:

Costo total=$50+$20+8*80*0.985=$700.154 teniendo como conclusión que sí resulta conveniente.

Ejercicio 2

El departamento de sistemas trata de determinar si alquila una copiadora lenta o rápida. El tiempo de un empleado vale 15 soles la hora, el alquiler de la copiadora lenta cuesta 4 soles la hora y un empleado tarda en promedio 10 minutos en terminar un trabajo, la copiadora rápida cuesta 15 soles la hora en arrendamiento y un empleado tarda un promedio de 6 minutos en terminar un trabajo, al departamento llegan en promedio 4 trabajos de copiado por  hora y el costo de la espera por cada uno de estos trabajos es de 7 soles por  hora. Se pide:

  • La probabilidad de que no haya trabajos en el sistema con copiadora lenta.
  • La probabilidad de que haya al menos dos trabajos en el sistema con copiadora rápida.
  • ¿Cuál es el costo total si se alquila la máquina lenta?
  • ¿Cuál es el costo total si se alquila la máquina rápida?
  • Si el promedio de llegadas de trabajos es de 7 por hora, ¿Cuál es la máquina que deberá utilizar?

Resolución:

Por los datos del problema sabemos que λ=4 trabajos por hora y μ0= 6 trabajos por hora y μ1= 10 trabajos por hora, siendo los sub-índices 0 y 1 para la copiadora lenta y rápida respectivamente, entonces para hallar el primer punto (con la copiadora lenta), debemos de usar:

Probabilidad de cero clientes en el sistema: P0=1-ρ

Entonces ρ=4/6 y P0=1-4/6=1/3=0.333.

Para el segundo punto, nos piden la probabilidad de al menos 2 trabajos para la copiadora rápida, con lo cual debemos de hallar las probabilidades desde 0 a 2, hacer su suma y luego obtener su complemento a 1. Tenemos que λ/μ=0.4 (copiadora rápida), entonces en P0=(0.4)0(0.6)=0.6, P1=(0.4)1(0.6)=0.24 y P2=(0.4)2(0.6)=0.096; la suma total es 0.936, entonces la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades es 1-0.936=0.064.

El tercer punto sobre el costo con la copiadora rápida, tomaremos como unidad de tiempo la hora, sabemos que el costo del personal es de S/.15 por hora y el costo por alquiler de copiadora por hora es de S/. 4, con lo cual debemos de hallar cuántos clientes hay en promedio en la cola en la unidad de tiempo, entonces Lq=4/3 y el costo por trabajo por hora es de S/.7, con lo que obtenemos:

Costo total=4+15+(4/3)*7=S/.28.333 

El cuarto punto de forma similar solo que se usará los datos de la copiadora rápida, Lq=4/15, entonces:

Costo total=15+15+(4/15)*7=S/.31.867 

En el quinto punto, si tomamos que λ=7 al resolver Lq con la copiadora lenta nos saldrá un valor negativo, por lo cual queda descartado siendo finalmente la conclusión hacer uso de la copiadora rápida.

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