Teoría de Colas – Colas Markovianas – de 1 solo canal

INTRODUCCIÓN

Todos alguna vez hemos hecho una cola, en un banco, supermercado, o un trámite donde muchas personas se congregan y existen definitivamente menos centros de atención que usuarios que desean realizar algún trámite. Las colas son un tópico de la investigación de operaciones que se aborda con la finalidad de optimizar el sistema, esto ocurre por lo siguiente pongámonos  en la situación que tenemos un banco en la cual tenemos un solo cajero en atención, estamos reduciendo costos pues al menos tenemos un cajero, pero no estamos pensando que podríamos perder clientes por los tiempos de espera prolongados, lo cual repercute en el rendimiento de las operaciones, ahora podemos ir al otro extremo en que colocamos muchos cajeros tal que cada cliente sea atendido inmediatamente por un cajero, esto ocasionaría un sobre costo aun cuando el cliente se sienta totalmente satisfecho, pero no resulta conveniente, es por ello que se busca la optimización en el equilibrio del sistema. Entonces tenemos un sistema de colas que puede ser de un solo canal (cajero) o multi-canal:

1canal
Un solo canal
multicanal
Multicanal

COMPONENTES

Tal como se puede observar en los gráficos, se pueden distinguir componentes que conforman el modelo de colas, estos son:

modelo

  • Fuente de Entrada:  Toma especial interés el tamaño de la población que puede requerir servicio en determinado momento, a esta población de clientes potenciales se le conoce como “población de entrada”, esta población puede ser de tamaño finito o infinito; sin embargo, y  por la facilidad de cálculo se suele tomar que es infinito, aun cuando se trate de un problema real que definitivamente tiene un tamaño finito se toma como supuesto que es infinito a menos que se establezca lo contrario. Así como el tamaño se debe de especificar  el patrón estadístico por el cual se generan los clientes, por lo general se asume que estos siguen una distribución de Poisson.
  • Cola: La cola es donde los clientes esperan antes de recibir servicio, se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir, estas también pueden ser finitas o infinitas, el supuesto de infinito se aplica como un estándar de la mayoría de modelos, incluso cuando en la realidad existe una cota superior.
  • Disciplina de la Cola:  Se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio, puede ser: “primero en entrar, primero en salir -(FIFO)“, “último en entrar, primero en salir-(LIFO)” , aleatoria o algún otro procedimiento.
  • Mecanismo de Servicio: Consiste  en uno o más estaciones de servicio denominados servidores, en un modelo de colas siempre se debe especificar el arreglo de las estaciones y el número de los servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación se llama tiempo de servicio.

NOTACIÓN  Y DISTRIBUCIÓN

En la notación se sigue la notación Kendall que se indica de la siguiente forma:

A/B/C

Donde:

  • A: Especifica el tipo de distribución en la llegada.
  • B: Especifica el proceso de servicio
  • C: Indica el número de servidores

Los códigos empleados son:

  • M: para Markoviano (las tasas de llegada siguen una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos de llegada (un banco, cola de supermercado, etc.).
  • D: para unos tiempos deterministas, es decir, los tiempos de llegada no son probabilísticos  y son a intervalos constantes (una planta con un proceso automatizado en línea).
  • G: para una distribución general de los tiempos de llegada, es decir permite cualquier distribución arbitraria.

TERMINOLOGÍA

Se tiende a una terminología aunque cada autor podría diferir en la definición de los términos o símbolos que hace uso:

  • Estado del sistema: número de clientes en el sistema.
  • Longitud de la cola: número de clientes que esperan servicio o estado del sistema menos número de clientes a quiénes se les da el servicio.
  • N(t): número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t≥0).
  • Pn(t): probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t dado el número en el tiempo 0.
  • s: número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.
  • λn: tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
  • μn: tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo).

MEDIDAS DE RENDIMIENTO

Centradas en el cliente:

  • Wq: tiempo promedio de espera, en la cual un cliente llega y es atendido.
  • W: tiempo promedio total del sistema, que incluye el tiempo promedio de espera y el tiempo promedio del servicio.

Cuantitativas sobre el número de clientes:

  • P0: probabilidad de que no haya clientes en el sistema, puede ser empleado cuando se requiera la probabilidad de que haya n elementos en el sistema.

Relacionadas al costo:

  • Costo promedio por unidad de tiempo de operación del sistema
  • Cantidad de estaciones de trabajo necesarias para obtener la mayor efectividad en términos de costos.

RELACIONES ENTRE MEDIDAS DE RENDIMIENTO

El tiempo promedio del sistema, es el tiempo de espera y el tiempo de servicio, sí  “μ” es la cantidad de clientes atendidos por unidad de tiempo, la inversa será el tiempo que demore en atender a un cliente en una unidad de tiempo, entonces:

Tiempo total de un cliente en el sistema:form1

Sea que el tiempo que pasa el cliente en el sistema es W, y λ  por definición es la cantidad de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo, entonces podemos decir que la cantidad de clientes en el sistema  en cualquier tiempo dado será:

L=W*λ

Podemos hacer una analogía, para determinar la cantidad de clientes esperando en cualquier tiempo dado de la siguiente forma:

Cantidad de clientes en cola: Lq=Wq

ANÁLISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS

Para determinar el costo total debemos de hallar el costo total del personal:

Costo total de personal=(Costoxhoraxservidor) * (Cantidad de personal)

El costo total de los clientes en espera:

Costo total por la espera=(Costoxhoraxcliente_en_cola) * (Cantidad de clientes en cola)

Tal que el costo total es:

Costo total=Costo_total_personal + Costo_total_por_la_espera

ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE COLAS DE TIPO (M/M/1)

Las fórmulas de rendimiento por lo general se han derivado a través del uso de las variables λ y μ tal que se llega a la expresión de la intensidad de tráfico o también denominado factor de uso (ρ)  que tiene la siguiente forma:

 Factor de uso: ρ=λ/μ

Si el factor de uso mientras más cerca a 1 significará que el sistema estará más cargado lo cual trae como resultados colas más largas y tiempos de espera más largos. Sí el factor de uso mide la intensidad de clientes en el sistema,  su complemento determina la probabilidad de que no exista clientes en el sistema:

Probabilidad de cero clientes en el sistema: P0=1-ρ

Esta probabilidad indica que un cliente que llega no tendrá que esperar a que se le proporcione servicio ya que la cola estará vacía.

Podemos de similar forma obtener la cantidad de clientes en espera o en la cola en función de ρ o de λ y μ.

Número de clientes en espera:col1

Este último resultado sirven de base para obtener el Wq y W acorde a las fórmulas planteadas líneas arriba.

Si deseamos determinar la probabilidad de que el sistema tenga exactamente “n” cantidad de clientes:

Cantidad n exacta de clientes en el sistema:col2

Esta última ecuación nos permite responder a las preguntas tales como: ¿Cuál es la probabilidad que no haya más de  n clientes en el sistema? , para ello debemos de tomar la suma desde 0 a n de las probabilidades:

col3

Y si en caso la pregunta fuera ¿Cuál es la probabilidad de encontrar hasta n clientes en el sistema?, se tomará el complemento, es decir:

1-Ptotal

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Ejercicio 1

Si la tasa de llegada a una estación de servicio es de 12 unidades por hora y el tiempo de atención por unidad es de 4 minutos siendo además que se pierde por unidad parada la cantidad de $80 por hora y que el costo por día del servicio es de $50, se pide:

  • La probabilidad de encontrar hasta 3 unidades en el sistema.
  • El costo total por día del sistema.
  • Determine si conviene contratar un ayudante por $20 diario si la tasa de atención mejora en 30%.

Resolución:

Tenemos que el tiempo de llegada es de λ: 12 unidades por hora, y la cantidad de unidades por unidad de tiempo es de  μ: 15 unidades por hora ya que cada unidad tarda 4 minutos en un servidor. Nos piden hallar la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades en el sistema, para ello usaremos  1-Ptotal,entonces hallamos el total desde i=0 hasta i=n=3 en:

col2

Tenemos que λ/μ=0.8, entonces en P0=(0.8)0(0.2)=0.2, P1=(0.8)1(0.2)=0.16, P2=(0.8)2(0.2)=0.128 y P3=(0.8)3(0.2)=0.1024; la suma total es 0.5904, entonces la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades es 1-0.5904=0.4096.

El costo total del sistema, tenemos como datos el costo del día del servicio que es de $50, tomaremos que el día está compuesto de  8 horas laborales, entonces debemos de hallar cuántos clientes se encuentran en cola cada hora; debemos de hallar la cantidad de elementos en cola, sabemos que Lq:

col1

tenemos que la cola cada hora está compuesta por 3.2 unidades, y el costo por unidad por hora es de $80, entonces el costo total de espera por hora es de $256 por hora, pero como son 8 horas laborales tenemos que el costo diario es de $2048, el costo del servicio es de $50 y la cantidad de servidores es de 1, finalmente el costo total será:

Costo total=$50+$2,048=$2098

Ahora debemos de evaluar que sucede si se incluye un ayudante que mejora la tasa de atención es un 30%, esto se traduce en 1.3μ, entonces el nuevo μ será de 19.5 unidades por hora con lo cual debemos de revisar el costo, para ello el nuevo Lq es 0.985 unidades en cola en cada hora, entonces el nuevo costo será:

Costo total=$50+$20+8*80*0.985=$700.154 teniendo como conclusión que sí resulta conveniente.

Ejercicio 2

El departamento de sistemas trata de determinar si alquila una copiadora lenta o rápida. El tiempo de un empleado vale 15 soles la hora, el alquiler de la copiadora lenta cuesta 4 soles la hora y un empleado tarda en promedio 10 minutos en terminar un trabajo, la copiadora rápida cuesta 15 soles la hora en arrendamiento y un empleado tarda un promedio de 6 minutos en terminar un trabajo, al departamento llegan en promedio 4 trabajos de copiado por  hora y el costo de la espera por cada uno de estos trabajos es de 7 soles por  hora. Se pide:

  • La probabilidad de que no haya trabajos en el sistema con copiadora lenta.
  • La probabilidad de que haya al menos dos trabajos en el sistema con copiadora rápida.
  • ¿Cuál es el costo total si se alquila la máquina lenta?
  • ¿Cuál es el costo total si se alquila la máquina rápida?
  • Si el promedio de llegadas de trabajos es de 7 por hora, ¿Cuál es la máquina que deberá utilizar?

Resolución:

Por los datos del problema sabemos que λ=4 trabajos por hora y μ0= 6 trabajos por hora y μ1= 10 trabajos por hora, siendo los sub-índices 0 y 1 para la copiadora lenta y rápida respectivamente, entonces para hallar el primer punto (con la copiadora lenta), debemos de usar:

Probabilidad de cero clientes en el sistema: P0=1-ρ

Entonces ρ=4/6 y P0=1-4/6=1/3=0.333.

Para el segundo punto, nos piden la probabilidad de al menos 2 trabajos para la copiadora rápida, con lo cual debemos de hallar las probabilidades desde 0 a 2, hacer su suma y luego obtener su complemento a 1. Tenemos que λ/μ=0.4 (copiadora rápida), entonces en P0=(0.4)0(0.6)=0.6, P1=(0.4)1(0.6)=0.24 y P2=(0.4)2(0.6)=0.096; la suma total es 0.936, entonces la probabilidad de encontrar hasta 3 unidades es 1-0.936=0.064.

El tercer punto sobre el costo con la copiadora rápida, tomaremos como unidad de tiempo la hora, sabemos que el costo del personal es de S/.15 por hora y el costo por alquiler de copiadora por hora es de S/. 4, con lo cual debemos de hallar cuántos clientes hay en promedio en la cola en la unidad de tiempo, entonces Lq=4/3 y el costo por trabajo por hora es de S/.7, con lo que obtenemos:

Costo total=4+15+(4/3)*7=S/.28.333 

El cuarto punto de forma similar solo que se usará los datos de la copiadora rápida, Lq=4/15, entonces:

Costo total=15+15+(4/15)*7=S/.31.867 

En el quinto punto, si tomamos que λ=7 al resolver Lq con la copiadora lenta nos saldrá un valor negativo, por lo cual queda descartado siendo finalmente la conclusión hacer uso de la copiadora rápida.

Instalación Chamilo Sistema E-Learning

Estamos pasando en una transición de lo análogo a lo digital, aun cuando en latinoamérica esto se observe con mayor lentitud, se puede percibir este cambio, este cambio trae como consecuencia que varias maneras en que se hacían las cosas agreguen o pierdan valor, entre ello la forma en como aprendemos; antes la manera formal o común era a través de la asistencia a instituciones de paga en tiempos restringidos, ahora tenemos una cartera de ofertas que nos permiten aprender a través del uso de internet, el término aula virtual ya no  es desconocido, a tal punto que nosotros podemos implementar nuestra propia aula virtual, para hacerlo existen plataformas especializadas en ello  y que son gratuitas en su descarga y uso; como principales exponentes podríamos citar a Moodle y Chamilo, estas dos plataformas son LMS que básicamente son sistemas de gestión de aprendizajes cada una con sus propias ventajas y desventajas (comparativa aquí), este post obedece a un proyecto en el cual se requiere una plataforma de aprendizaje en línea sin el requerimiento de apoyo presencial donde uno de los principales componentes sea la interacción social, cuestión que Chamilo maneja muy bien, en demérito de ello tenemos que la documentación es muy escasa, escasa en términos de preguntas específicas dada su comunidad relativamente joven.

LA INSTALACIÓN

Vamos a instalar Chamilo en un servidor local, ahora bien el tipo de servidor local será un Apache Web Server y que implementaremos a través del entorno de desarrollo XAMPP. Cuando hemos instalado xampp podemos encontrar en nuestro disco C (si hemos hecho la instalación por defecto) una carpeta llamado xampp y dentro de xampp  la carpeta htdocs:

instalacion_1

Donde debemos de crear una carpeta con el nombre de nuestra aplicación, en nuestro y puede ser cualquier nombre la llamaré aula. Paralelamente a ello hemos descargado Chamilo desde su web, recordemos que en nuestro caso estamos trabajando bajo el entorno de Windows 10 por lo cual elegimos:

instalacion_2.png

Todo el contenido de la carpeta que hemos descargado lo colocamos dentro de la carpeta aula quedando:

instalacion_3.png

De la mano con ello debemos de poner en funcionamiento xampp, y esto lo podemos hacer encontrando el icono de xampp y ejecutándolo, si abrimos su panel de control debemos obtener esto:

instalacion_4.png

Cuando xampp está en ejecución hacemos click en admin de MySQL y se abrirá nuestro phpMyAdmin en donde crearemos nuestra base de datos. La base de datos la llamaremos chamilo_ver1 (puedes colocar el nombre que mejor te parezca):

instalacion_6

Ahora en nuestro navegador debemos de iniciar el instalador de Chamilo, para ello colocamos:

http://localhost/aula/

Nos debe aparecer la siguiente imagen:

instalacion_5.png

Vamos a narrar los pasos que se suceden:

  • Paso 1 – Elección del idioma: A menos que estés en otro lado del mundo, el idioma que nos sale por defecto es spanish y por ende lo dejaremos así.
  • Paso 2 – Requisitos del Servidor: Se divide en 2 secciones, la primera en los estrictamente requeridos y la segunda en recomendados, por si te aparece NO en la internacionalización, no te preocupes, si en los recomendados lo relacionado respecto a las transferencias de archivo, memoria y tamaño de post como NO, tampoco te preocupes, estos pueden ser modificados posteriormente (ver imagen eo el enlace); entonces vas al final de los requisitos y haces click en “Instalación Nueva“.

instalacion_10.png

  • Paso 3 – Licencia: Das acepto a todo sin cuestionar (una broma), puedes leer todo aunque básicamente debemos recordar que Chamilo en código abierto y así también en su distribución, así que es muy difícil que tengas problemas de carácter legal en su manipulación siempre y cuando no sea en perjuicio intencionado hacia terceros. Luego debemos de proporcionar datos de contacto.
  • Paso 4 – Parámetros de la base de datos: Hace un par de líneas hemos creado nuestra base de datos (chamilo_ver1), así también cuando hemos instalado xampp y hemos dejado las opciones por defecto tenemos un usuario y una clave que son root  y “” respectivamente (sí, es un espacio vacío), podemos probar la conexión en el botón obvio que dice “Comprobar la conexión con la base de datos“, quedando de la siguiente forma:

instalacion_7

  • Paso 5 – Parámetros de Configuración: Todos los parámetros deben ser asignados de acuerdo al que ha de administrar la plataforma (no te preocupes luego se puede agregar más administradores), también tenemos unas opciones por defecto en Permitir que los usuarios puedan registrarse o que puedan puedan crear cursos, en ambas temporalmente hemos de colocar no, ya que ello responderá a los casos de uso que reportemos al momento de personalizar la plataforma.
  • Paso 6 – Última comprobación: Te saldrán todas las configuraciones que haz realizado, te recomiendo que tomes un pantallazo de ello para salvaguardar dicha información y haces click en Instalar Chamilo.

Se nos presenta una opción que nos invita a ir hacia nuestra plataforma instalada y procedemos a ingresar a ella, ingresamos los datos que consignamos para el administrador y veremos lo siguiente:

instalacion_9

Dentro del menú administración debemos de entrar a la opción Información del Sistema, que está dentro del tag Sistema, al hacer click nos mostrará el estado actual de los requerimientos de Chamilo, como podemos nos informa que:

instalacion_11.png

Es por ello por seguridad debemos de proceder a borrar o cambiar de nombre a la carpeta “install” ya que aun cuando hemos instalado Chamilo esta carpeta sigue siendo pública y puede realizar una instalación sobre lo ya instalado haciendo que nuestros datos se pierdan. Para ello debemos de ir a la ruta:

C:/xampp/htdocs/aula/main

Buscar la carpeta “install” y eliminarla, luego de eliminarla podemos actualizar la página y veremos que la carpeta ya no se encuentra.

Resolución de Casos de Valor Presente, futuro y anualidades

Teoría:

Ejercicio 1

¿Cuánto dinero puede desembolsar ahora Haydon Rheosystems Inc. , para un sistema de administración de energía, si el software ahorraría a la empresa $21,300 anuales durante los siguientes cincos años?. Use una tasa de interés de 10% anual.

Resolución:

Observemos como puede ser el diagrama de flujo de efectivo

cap2ex1flujo

El ejercicio nos pide obtener el valor presente (P) sabiendo las anualidades (A) que se reportan durante 5 periodos, donde cada periodo es de 1 año y siendo la tasa del 10%; como se observa los problemas de este tipo como mínimo deben proporcionar 3 datos siendo que por lo general la tasa y los periodos son otorgados, entonces nuestra ecuación sería:

P=A(P/A,i,n)=21,300(P/A,10%,5)

Reemplazamos en la ecuación 3:

cap2ex1form

Tenemos:

P=21,300(3,7908)=80,744

Entonces el monto a desembolsar es de $80,744.

 

Ejercicio 2

Un fabricante de vehículos todo terreno considera comprar inclinómetros de eje dual para instalarlos en una nueva línea de tractores. El distribuidor de los inclinómetros de momento tiene muchos en inventario y los ofrece con un descuento de 40% sobre su precio normal de $142. Si el comprador los obtiene hoy  y no dentro de 2 años, que es cuando los necesitará ¿Cuál es el valor presente de los ahorros por unidad?. La compañía pagaría el precio normal si lo comprara dentro de dos años. Suponga que la tasa de interés es de 10% anual.

Resolución:

Básicamente el problema nos propone una evaluación ¿Conviene comprarlos ahora o luego de 2 años?, si lo compro dentro de 2 años ¿Cuánto en dinero representaría actualmente? y sobre si ese valor presente seria menor que el descuento ofrecido actualmente y cuando dinero ganaríamos con ello. Entonces debemos de hallar el valor presente (P) sabiendo el valor futuro (F) que es  el precio normal sin descuento ($142), nos brindan además como dato la tasa (10%) y los periodos (2 años), entonces nuestra ecuación:

P=F(P/F,i,n)=142(P/F,10%,2)

Reemplazamos en la ecuación 2:

cap2ex2form

 

Obtenemos que P=117.35, entonces si compramos el productos con el 40% de descuento este sería 85.2, hacemos una resta entre comprarlo dentro de 2 años o ahora con el 40% de descuento: 117.35-85.2=32.15; entonces comprando ahora ahorraríamos $32,15 por producto en lugar de sí lo compramos dentro de 2 años.

Ejercicio 3

CGK Rheosystems fabrica viscosímetros de alto rendimiento capaces de superar pruebas de esfuerzo cortante estable en una superficie rugosa y compacta. ¿Qué cantidad debe dedicar la empresa ahora para adquirir un equipo nuevo, en vez de gastar $200,000 dentro de 1 año  y $300,000 dentro de 3 años, si la compañía utiliza una tasa de interés de 15% anual?.

Resolución:

Aunque el problema no da mucho detalle, sabemos que nos piden el valor presente (P) de adquirir un equipo hoy,  dado que cada 1 y 3 años debe realizar algún tipo de prueba para validar sus viscosímetros, entonces siempre se trata de evaluar que conviene más para la toma de una decisión tomando en cuenta que disponemos de los valores futuros, los periodos  y la tasa respectiva, note casi como una constante que entreguen los periodos y la tasa, entonces nuestra ecuación queda, sea Pt el valor presente total:

Pt=P1+P2 donde P1=F1(P1/F1,i,n11) y P2=F2(P2/F2,i,n2)

Tenemos entonces:

cap2ex3form

Donde P=$371,167, el cual sería el monto que debe de invertir la empresa actualmente.

Ejercicio 4

La oficina de servicios públicos (OSP) asignó dos contratos por un total combinado de $ 1.07 millones para mejorar (es decir profundizar) una presa de almacenamiento y reconstruir su vertedor que se dañó severamente en una inundación hace dos años. La OSP dijo que debido al estancamiento económico las propuestas fueron de $950,000,  inferiores de lo que esperaban los ingenieros. Si se supone que los proyectos tienen una vida útil de 20 años. ¿Cuál es el beneficio anual de los ahorros, con una tasa de interés de 6% anual?.

Resolución:

Tal como menciona el problema, la propuesta final fue valorizada en $950,000 el cual tomaremos como nuestro valor presente, la cantidad de periodos es 20 y la tasa es de 6%, y nos piden hallar el beneficio anual de ahorros que es la anualidad, entonces la ecuación queda:

A=P(A/P,i,n)=950,000(A/P,6%,20)

Reemplazando en la ecuación 4:

cap2ex4form

Entonces el beneficio anual de ahorros es de $82,825.

Evaluación de Proyectos a través del Análisis Económico Financiero – Conceptos – Parte 2

Anteriormente:

Parte 1

Continuando con los conceptos teóricos:

Ahora vamos revisar las definiciones de tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva,  la relación que existe entre ellas es básicamente la misma que existe entre el interés simple y compuestos que consiste en que el interés compuesto incluye  el interés sobre el interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés simple no lo incluye, esta relación básica, permanece entre el interés nominal y efectivo. Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería, dado que los proyectos de ingeniería se financian por medio de deuda o de capital propio; los intereses por préstamos se basan en tasas de interés compuesto por periodos menores a un año y en ingeniería siempre se deben tomar en cuenta sus efectos, entonces:

  • La tasa de interés nominal r, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses, r = tasa de interés por periodo x número de periodos.
  • La tasa de interés efectiva  i es aquella en que se toma en cuenta la capitalización del interés. Por lo general se expresa como tasa anual efectiva, pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

TASA DE INTERÉS NOMINAL 

Existen tres unidades de tiempo asociadas al enunciado de una tasa de interés:

  • Tiempo (o periodo) (t): es el periodo en que se expresa el interés. Esta es la t del enunciado de r% por periodo t; por ejemplo, 1% mensual. La unidad de tiempo de un año es por mucho la más común, de ahí que se suponga así cuando no se especifica otra unidad.
  • Periodo de capitalización (PC): es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés. Se identifica por el término capitalización en el enunciado de la tasa de interés, por ejemplo, 10% anual compuesto mensualmente. Si no es especifica, entonces se supone que es de un año.
  • Frecuencia de composición (m): es el número de veces que la capitalización ocurre dentro del periodo t. Si los periodos de capitalización PC y de tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo, 1% mensual, compuesto mensualmente.

Si:

“Una tasa de interés de 6% por año, capitalizable en forma semanal”

Entonces: t=1 año, PC=1semana, por lo tanto m=52 semanas; podemos decir entonces:

tasa_interes3
tasa_interes4
Ingeniería Económica – Leland Blank – Anthony Tarquin -pág-98

TASA DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES

Se mencionó que las tasas nominales y efectivas son análogas al interés simple y compuesto, entonces podemos hacer lo siguiente, sea  ia el interés efectivo anual y que si tuviéramos que calcular el valor futuro (F) tal que P sea el valor presente podríamos hacerlo de la siguiente forma:

F=P+Pia

Pero F también es posible expresarlo en función del interés por periodo de capitalización, sea i la tasa por período y m sea el período, según la ecuación 1 del post 1:

F=P(1+i)m

Igualamos:

P(1+ia)=P(1+i)m

Pero i está en períodos e ia está anualmente, nosotros podemos decir que i=r/m siendo r la tasa nominal anual y m el número de períodos, entonces:

Ecuación 10:

ia=(1+r/m)m-1

Esta ecuación es válida para cualquier periodo.

Evaluación de Proyectos a través del Análisis Económico Financiero – Conceptos – Parte 1

Todos tomamos decisiones, decisiones que pueden ocasionar un impacto profundo en nuestra vida como el que estudiar, como alimentarnos, en que invertimos, estas decisiones consumen recursos de distinta índole que finalmente pueden ser expresados en términos monetarios (la lengua común últimamente). Esta toma de decisiones también son evidentes en las empresas, las evalúan en función de un capital que es limitado la decisión de en que invertir, motivados por supuesto por el objetivo principal de agregar valor cuando se consigan los resultados futuros de dicha inversión, estas decisiones pueden ser expresadas a través de proyectos ya los costos y gastos que corresponden a la ejecución del mismo, y aunque apostar por un proyecto o inversión sea una combinación de factores económicos y no económicos, nos ocuparemos en este post en revisar algunas de las herramientas de evaluación que podemos disponer para dilucidar los factores económicos, ya que lo no económicos dependen mucho de la experiencia de quién toma la decisión y la circunstancia en la que se encuentre. Pasemos a repasar un conjunto de conceptos:

CONCEPTOS

Dinero en el tiempo: Es un hecho muy conocido que dinero hace dinero. El valor del dinero en el tiempo explica el cambio de la cantidad de dinero en el tiempo de los fondos que se poseen (invierten) o se deben (prestan)” – Ingeniería Económica -Leland Blank-Anthony Tarquin .

El dinero adquiere valor en el tiempo, este cambio en el tiempo viene expresado a través del interés o utilidad que se pueda generar.

Interés: Como se mencionó el interés es el valor generado por el dinero en el tiempo, podemos decir entonces que el interés es la diferencia entre una cantidad final total de dinero y la cantidad total original. El interés posee dos variantes, el interés pagado que es cuando se paga a una persona o empresa por el dinero prestado, y el interés ganado que se gana en caso nosotros fuéramos el prestamista o realizamos ahorros o inversiones.

Interés=Cantidad total final - Cantidad total original

Tasa de Interés: Es muy difícil ver que el interés sea pagado como una única cantidad total al final del ejercicio, sino que se expresa en cantidades parciales en unidades específicas de tiempo (períodos de interés), siendo que estas cantidades parciales representan un porcentaje del interés, este porcentaje del interés recibe el nombre de tasa de interés:

tasa_interes

Por ejemplo supongamos que nos hemos prestado $20,000 del banco y que al termino de 1 año debemos de pagar $21,800, podemos decir entonces que el interés generado en el ejercicio de un año es: $1,800, podemos calcular entonces la tasa de interés tomando como unidad de tiempo 1 año:

tasa_interes2

Vemos que la tasa de interés es del 9% ANUAL, anual porque la unidad de tiempo ha sido tomada como 1 año.

Terminologías del Análisis Financiero

Revisemos las terminologías:

  • P: valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0, también recibe el nombre de valor presente (VP) o valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC).
  • F: valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro, también recibe el nombre de valor futuro (VF).
  • Anualidad (A): serie de cantidades dinero consecutivas, iguales y al final del periodo, también se le denomina valor anual (VA) y valor uniforme equivalente (VAUE).
  • Períodos (n): número de períodos de interés, se puede expresar en años, meses o días.
  • i: tasa de interés o tasa de retorno por período, se puede expresar como porcentaje anual, mensual, etc.
  • t: tiempo, expresado en períodos de años, mesas o días.

Cuando se nos presente un problema debe al menos incluir 4 o 3 de los símbolos que hemos presentado.

Diagrama de Flujo de Efectivo

Los flujos de efectivo son las cantidades de dinero estimadas u observadas para los proyectos futuros o ya ejecutados respectivamente, estos flujos ocurren durante períodos específicos de tiempo como 1 año, mes o cada 6 meses. Podemos catalogar los flujos de efectivo como de entrada y salida, las entradas son las ganancias, ingreso y ahorros generados , y las salidas son los costos, desembolsos, gastos e impuestos generados por los proyectos; las entradas son representadas con un signo positivo (+) mientras que las salidas con un signo negativo (-). Podemos representar el flujo de efectivo de la siguiente forma:

flujo_efectivo

Puede observarse que, se parte de un punto 0 en el tiempo que representa el valor presente, los flujos de ingresos son positivos y se simbolizan con una flecha hacia arriba mientras que las salidas con una flecha hacia abajo, cada segmento por ejemplo de 0 – 1 representan las anualidades, las cuales como se mencionaron son uniformes, la cantidad de tiempo está representado por los valores numéricos (1, 2, 3 , 4, 5). Los flujos de efectivo se suponen que ocurren al final del período, es importante entender que si F y A por convención se localizan al final del periodo esto no tiene nada que ver con calendario alguno, sino al fin del período de interés, es decir que el final del período puede ser tanto un 31 de enero como un 1 marzo.

Ecuaciones

Factores de conociendo P (valor presente) determinar F (valor futuro) (F/P): Consiste en determinar la cantidad de dinero F que se acumular después de n años (o periodos) a partir de un único valor presente P con interés compuesto una vez por periodo (el interés compuesto es el interés pagado sobre el interés). Sea una cantidad P en t=0 y F1 la cantidad de dinero acumulado luego de un periodo y una tasa de interés i por ciento por período, entonces:

F1=P+Pi =P(1+i)

En un siguiente periodo se realiza el mismo calculo donde P se reemplaza por F1, entonces:

F2=F1(1+i)=P(1+i)+P(1+i)i=P+iP+Pi+Pi².=P(1+2i+i²)=P(1+i)²

Podemos decir entonces que:

Ecuación 1

F=P(1+i)n 

Con esta ecuación podemos también hallar P sabiendo F (P/F):

Ecuación 2

P=F(1+i)-n 

Factores de conociendo A (anualidad) determinar P (valor presente) (P/A): Debemos de actuar con la siguiente lógica, sabemos que A es una serie uniforme en el flujo de efectivo, pero también podemos decir que cada A representa un valor futuro F, entonces podemos usar (P/F):

p_a1

Podemos multiplicar ambos lados por (1+i) a la menos 1 :

p_a2

Luego realizamos la siguiente resta:

p_a3

Operamos y obtenemos:

p_a4

Con lo que nos queda:

Ecuación 3:

p_a5

De forma similar podemos obtener A sabiendo P:

Ecuación 4:

p_a6

Factores de conociendo F (valor futuro)  determinar  A (anualidad)  (A/F): Utilicemos las ecuaciones ya resueltas, si en la ecuación 4 sustituimos el valor de P por su equivalencia de la ecuación 2:

f_a_1

Despejando tenemos:

Ecuación 5:

f_a_1

Obtenemos F sabiendo A, entonces:

f_a_3

 

Factores de Gradiente Aritmético: Un gradiente aritmético es una serie de flujos que aumenta o disminuye en una cantidad constante en cada periodo. La cantidad del cambio se llama gradiente. Debemos de considerar que el flujo de efectivo final en el período 1 es una cantidad base de la serie de flujo de efectivo por lo que no forma parte de la serie del gradiente. Esto es congruente con la realidad por lo siguiente:

Imaginemos que hemos comprado un auto de segunda mano con una garantía de 1 año, se espera que durante el primer año solo tenga que pagar por la gasolina, supongamos que dicho costo es de $2,500, es decir, $2,500 es la cantidad base, después del primer año la persona debe de solventar los costos de las reparaciones y es lógico esperar que estos costos aumentarán cada año. Si estimamos que los costos totales aumentarán en $200, la cantidad al segundo año sería $2,700, al tercero $2,900, y así sucesivamente hasta el año n, entonces sea G (gradiente) y CFn  (flujo de efectivo en un período n) como sigue:

CFn= cantidad base -(n-1)G

Podemos graficarlo de la siguiente forma:

gradiente1

Observamos que la gradiente se expresa luego del primer período que es tomado como la cantidad base, entonces podemos graficar la gradiente sin la cantidad base de la siguiente forma:

gradiente2

El gradiente aritmético y su relación con las demás se puede expresar de la siguiente forma:

Ecuación 6:

gradiente_3

Ecuación 7:

gradiente_4

Ecuación 8:

gradiente_5

 

Factores de Gradiente Geométrico: Una serie de gradiente geométrico es una serie de flujo de efectivo que aumenta o disminuye en un porcentaje constante cada periodo, a este cambio se denomina tasa de cambio; es común que los ingresos anuales y los costos anuales, como mantenimiento, operaciones y trabajo, aumenten o disminuyan con un porcentaje constante, +5% o -3% anual. Este cambio ocurre cada año sobre una nueva cantidad que comienza en el primer año del proyecto, para ello se definen nuevos términos:

  • g: tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente, el gradiente g puede ser + o -.
  • A1: flujo de efectivo inicial en el año 1 de la serie geométrica.
  • Pg: valor presente de la serie geométrica completa, inclusive la cantidad inicial A1.

Tenemos entonces:

Ecuación 9:

gradiente_6